סביר להניח שנתקלת בחפצים חד צדדיים מאות פעמים בחיי היומיום שלך - כמו הסמל האוניברסלי למחזור, שנמצא מודפס על גב פחי אלומיניום ובקבוקי פלסטיק.
אובייקט מתמטי זה נקרא רצועת מוביוס. זה ריתק את אנשי הסביבה, האמנים, המהנדסים, המתמטיקאים ורבים אחרים מאז התגלה בשנת 1858 על ידי אוגוסט מביוס, מתמטיקאי גרמני שנפטר לפני 150 שנה, ב 26- בספטמבר 1868.
מוביוס גילה את הרצועה החד צדדית בשנת 1858 בעת ששימש ככיסא האסטרונומיה והמכניקה הגבוהה יותר באוניברסיטת לייפציג. (מתמטיקאי אחר בשם Listing תיאר אותה למעשה כמה חודשים קודם לכן, אך לא פרסם את עבודתו עד שנת 1861.) נראה כי Möbius נתקל ברצועת Möbius תוך כדי עבודתו על התיאוריה הגיאומטרית של פוליהדרה, דמויות מוצקות המורכבות מקודקודים, קצוות ופנים שטוחות. .
ניתן ליצור רצועת Möbius על ידי לקיחת רצועת נייר, להעניק לה מספר אי-זוגי של פיתולים למחצה, ואז להדביק את הקצוות חזרה זה לזה ליצירת לולאה. אם אתה לוקח עיפרון ומצייר קו לאורך מרכז הרצועה, תראה שהקו ככל הנראה נמשך לאורך שני צידי הלולאה.
הרעיון של אובייקט חד צדדי העניק השראה לאמנים כמו המעצב הגרפי ההולנדי MC Escher, שחתך העץ "Möbius Strip II" מציג נמלים אדומות שזוחלות זו אחר זו לאורך רצועת Möbius.
לרצועת Möbius יש יותר מסתם נכס מפתיע אחד. לדוגמה, נסה לקחת מספריים ולחתוך את הרצועה לשניים לאורך הקו שרק ציירת. יתכן שתופתעו לגלות שנשארים לכם לא שתי רצועות Möbius חד צדדיות קטנות יותר, אלא במקום זאת עם לולאה ארוכה דו צדדית. אם אין לך דף נייר בהישג יד, חיתוך העץ של Escher "Möbius Strip I" מראה מה קורה כאשר רצועת Möbius נחתכת לאורך קו המרכז שלו.
בעוד שלרצועה בהחלט יש משיכה חזותית, ההשפעה הגדולה ביותר שלה הייתה במתמטיקה, שם היא סייעה לדרבן את התפתחותו של תחום שלם שנקרא טופולוגיה.
טופולוג חוקר תכונות של חפצים שנשמרים כשהם מועברים, כפופים, מתוחים או מפותלים, מבלי לחתוך או להדביק חלקים זה בזה. לדוגמא, זוג גושי אוזניים סבוכים זהה במובן טופולוגי כמו זוג גושי אוזניים לא מסובכים, מכיוון ששינוי האחד לשני דורש רק תנועה, כיפוף ופיתול. לא נדרש חיתוך או הדבקה כדי להפוך ביניהם.
זוג חפצים נוסף שהם זהים לטופולוגית הם כוס קפה וסופגנייה. מכיוון שלשני העצמים יש חור אחד בלבד, ניתן לעוות את אחד לשני באמצעות מתיחה וכפיפה בלבד.
ספל מתחלף לסופגנייה. (Wikimedia Commons) מספר החורים באובייקט הוא מאפיין שניתן לשנותו רק באמצעות חיתוך או הדבקה. מאפיין זה - המכונה "הסוג" של חפץ - מאפשר לנו לומר שזוג גווני אוזניים וסופגניה שונים זה מזה מבחינה טופולוגית, מכיוון שלסופגנייה יש חור אחד ואילו לזוג גווני אוזניים אין חורים.
לרוע המזל, לרצועת Möbius ולולאה דו-צדדית, כמו צמיד למודעות סיליקון טיפוסית, נראה כי לשניהם יש חור אחד, כך שמאפיין זה אינו מספיק כדי להבדיל ביניהם - לפחות מבחינת הטופולוג.
במקום זאת, המאפיין המבדיל בין רצועת Möbius לבין לולאה דו-צדדית נקרא אוריינטציה. בדומה למספר החורים שלו, ניתן לשנות את הכיוון של אובייקט רק באמצעות חיתוך או הדבקה.
דמיין לעצמך לכתוב לעצמך פתק על משטח רואים ואז לטייל על המשטח הזה. ניתן לכוון את המשטח אם, כשאתה חוזר מההליכה שלך, אתה תמיד יכול לקרוא את הפתק. על משטח לא ניתן לכוון, אתה יכול לחזור מהליכתך רק כדי לגלות שהמילים שכתבת הפכו ככל הנראה לתמונת המראה שלהן וניתן לקרוא אותן רק מימין לשמאל. על הלולאה הדו צדדית, הפתק תמיד יקרא משמאל לימין, לא משנה לאן המסע שלך לקח אותך.
מכיוון שרצועת Möbius אינה ניתנת לכיוון, ואילו הלולאה הדו-צדדית ניתנת לכיוון, פירוש הדבר כי רצועת Möbius והלולאה הדו-צדדית הם שונים מבחינה טופולוגית.
(נוצר על ידי דייוויד גונדרמן) כאשר ה- GIF מתחיל, הנקודות הרשומות בכיוון השעון הן שחור, כחול ואדום. עם זאת, אנו יכולים להזיז את תצורת שלוש הנקודות סביב רצועת Möbius כך שהנתון נמצא באותו מיקום, אך צבעי הנקודות המופיעים בכיוון השעון הם כעת אדום, כחול ושחור. איכשהו, התצורה התחלפה בתמונת מראה משלה, אבל כל מה שעשינו זה להזיז אותה על פני השטח. טרנספורמציה זו בלתי אפשרית על משטח ניווט כמו הלולאה הדו-צדדית.
למושג האוריינטציה השלכות חשובות. קח אנאנטיומרים. לתרכובות כימיות אלה יש אותם מבנים כימיים פרט להבדל מפתח אחד: הם תמונות מראה זה של זה. לדוגמא, הכימיקל L-methamphetamine הוא מרכיב במשאפי אדי Vicks. תמונת הראי שלה, D-methamphetamine, היא סם בלתי חוקי בכיתה A. אם היינו חיים בעולם שאינו ניתן להבחנה, הכימיקלים הללו לא ניתן להבחין בהם.
התגלית של אוגוסט מביוס פתחה דרכים חדשות לחקר עולם הטבע. מחקר הטופולוגיה ממשיך להניב תוצאות מדהימות. לדוגמה, בשנה שעברה הובילה הטופולוגיה את המדענים לגלות מצבים חדשים ומשונים של חומר. מדליית הפילדים השנה, הכבוד הגבוה ביותר במתמטיקה, הוענק לאקסאי וונקאטש, מתמטיקאי שעזר לשלב טופולוגיה עם תחומים אחרים כמו תורת המספרים.
מאמר זה פורסם במקור ב- The Conversation.
דיוויד גונדרמן, דוקטור. סטודנט למתמטיקה יישומית, אוניברסיטת קולורדו וריצ'רד גונדרמן, פרופסור לקנצלר לרפואה, אומנויות ליברליות ופילנתרופיה, אוניברסיטת אינדיאנה.
