אז הנה אתה חי את חייך, מרוצה מהבנתך כיצד העולם עובד: למעלה למעלה, למטה למטה, השמש עולה במזרח ושוקעת במערב. ואז, משום מקום, חבורה של מתמטיקאים מנסה לומר לך כי סכום כל המספרים השלמים החיוביים, כלומר 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... וכן הלאה לאינסוף שווה ל ... -1/12.
תוכן קשור
- לאחר התאריכים 12/13/14, מהם התאריכים המהנים הבאים לחובבי המתמטיקה?
ובכן, זה ברור מגוחך, נכון? כיצד מספרים גדולים ויותר ויותר יכולים להוסיף מספר קטן יותר כאשר הם מתווספים יחד? איך המספרים השלמים יכולים ליצור שבר? איך המספרים החיוביים יכולים לגרום לשלילה?
אז אתה צופה בשאר הסרטון (למעלה), שנעשה על ידי Numberphile, חבורה של ווינקס מתמטיקה עם ערוץ יוטיוב פופולרי (ובאמין באופן כללי) בנושא מתמטיקה. (צפו בזה. שווה את זה. נחכה.) ההוכחה שלהם נראית סולידית. חבורה של אנשים חכמים ממש, מהאסטרונום פיל פלאיט ועד האנשים במרכז הפיזיקה, מכפילים את הטענה. "מסתבר שהמסקנות שהם מסיקים בסרטון ההוא נכונות, פשוטו כמשמעו. אתה יכול להוסיף סדרה אינסופית של מספרים חיוביים, והם יסתכמו לשבר שלילי, " אמר פלייט.
אז זהו, נכון? מתמטיקה לא הגיונית, והעולם מוזר.
אבל זה לא סוף הסיפור.
קבוצה שנייה של האנשים בעלי נטייה מתמטית, כולל הבלוגרית של סיינטיפיק אמריקן אוולין למב והפיזיקאי גרג גבר, לקחו לרשת כדי להראות כי בעוד שסכום כל המספרים החיוביים יכול להיות סוג של שווה -1/12 (תוצאה של כך, הם תסביר, משמשת כל הזמן בפתרון מדויק של בעיות פיזיקה), התשובה מכפפת הנפש באמת עובדת רק אם אתה מגדיר מחדש לחלוטין כמה מושגי ליבה של המתמטיקה.
פיל פלאיט וצוות הפיזיקה המרכזית התקרבו בסופו של דבר, והמעקב של הפיזיקה סנטרל הוא שהכי עזר לנו להשיג את דעתנו סביב משכן זה.
על פי הפיזיקה המרכזית, 1 + 2 + 3 + 4 + ... שווה רק -1/12 מכיוון שהמתמטיקאים הגדירו מחדש את הסימן השווה. בסגנון זה של מתמטיקה, שנקרא המשך אנליטי, "=" הפסיק את המשמעות "שווה ל-" והתחיל המשמעות "קשורה אליו." מתמטיקאים מסובכים.
הטריק המתמטי הזה הולך אחורה, אומר פיזיקה מרכז. זה בעבודתו של המתמטיקאי ההודי החלוץ סריניוואסה ראמוג'אן, למשל:
ראמאנוג'אן אשם גם מעט. אחרי הכל, איך אנחנו אמורים להבין את מה שהוא ניסה לומר כאן?
"אמרתי לו שהסכום של מספר אינסופי של מונחי הסדרה: 1 + 2 + 3 + 4 + · · · = −1/12 לפי התיאוריה שלי. אם אני אגיד לך את זה, תצביע לי בבת אחת המקלט המטורף הוא המטרה שלי. "
-S. ראמאנוג'אן במכתב ל- GH הרדי
האם אנו אמורים להבין ש- "לפי התיאוריה שלי" פירושו ש- "=" לא אומר שווה?
לא מצאתי את היצירה המקורית שלו, אבל כמה אנשים שיחזרו חישוב על ידי אוילר המשתמש בסימן שווה באותה צורה. אם שני הצדדים אינם שווים אז, כזכור לי מתמטיקה בכיתה ב ', אינך יכול להשתמש בסימן שווה.
אז האם 1 + 2 + 3 + 4 + 5 .... = -1/12? כן, אבל רק אם, מבחינתך, סימן שווה פירושו דבר שאינו "שווה ל."
עכשיו, זה לא אומר שצוות ה- Numberphile פשוט התעסק עם הראש. ניתן להוכיח את ערך -1/12 במספר דרכים, והתוצאה בהחלט מועילה. אבל 1 + 2 + 3 + 4 + ... בהחלט לא "שווה" -1/12 בשום דרך שאדם בדרך כלל יחשוב על זה.
שצוות ה- Numberphile לקח קפיצת מדרגה כזו מבלי להסביר את זה לאנשים, אומר הפיזיקאי גרג גבר, זה חבל:
הסרטון גורם לו להראות כל כך פשוט, ולא שנוי במחלוקת, כמעט ברור. אבל ישנן כמה הנחות מתמטיות גדולות הנסתרות בטיעונם שלפי דעתי הופכות את זה למטעה מאוד. במילים אחרות: במובן מתמטי מוגבל, מתמחה, ניתן להקצות את הערך -1/12 לסכום החיובי ההולך וגובר. אך במובן הרגיל של תוספת שרוב בני האדם ישתמשו באופן אינטואיטיבי, התוצאה היא לא רגשית.
בעיניי זוהי הבחנה חשובה: חלק גדול מהדיכאון מהאוכלוסייה מניח אוטומטית כי המתמטיקה היא איזו אשף לא אינטואיטיבי, ביזארי, שרק האינטליגנטיות העל יכולה אולי לעלות על פיה. הצגת תוצאה מטורפת כל כך ללא הסמכה רק מחזקת את אותה השקפה, ולדעתי עושה שירות מתמטיקה.
אפילו לא ניסינו להתמודד עם הוכחות ארוכות הכרוכות במיון הדיון כאן, אבל אם אתה רוצה עוד, בדוק את:
תיקון: האם 1 + 2 + 3 + 4 +. . . = -1 / 12? בהחלט לא! מאת הפיזיקה המרכזית
סדרות אינסופיות: לא ממש מוזר כמו שאמרו גרג גבר
מעקב: הסדרה האינסופית והתוצאה המפוצצת מחשבות מאת פיל פלאיט
האם 1 + 2 + 3 ... באמת שווה -1/12? מאת אוולין למב
