מדוע המספרים הראשונים עדיין מפתיעים ומסתוררים מתמטיקאים

ב- 20 במרץ, המתמטיקאי האמריקאי-קנדי רוברט לנגלנדס קיבל את פרס הבל, שחוגג הישג חיים במתמטיקה. המחקר של Langlands הדגים כיצד ניתן לקבץ מושגים מגיאומטריה, אלגברה וניתוח באמצעות קישור משותף למספרים ראשוניים.

כאשר מלך נורבגיה מעניק את הפרס ללנגלנדס במאי, הוא יכבד את האחרון במאמץ של 2, 300 שנה להבנת מספרים ראשוניים, ללא ספק הנתונים הגדולים והוותיקים ביותר שנקבעו במתמטיקה. כמתמטיקאי המוקדש ל"תוכנית לנגלנדס "זו, אני מוקסם מההיסטוריה של מספרים ראשוניים וכיצד ההתקדמות האחרונה מפתה את סודותיהם. מדוע הם שבו את המתמטיקאים במשך אלפי שנים?

כדי ללמוד ראשונים, מתמטיקאים מתאמצים מספרים שלמים דרך רשת וירטואלית אחת אחרי השנייה עד שנותרו רק ראשונים ראשוניים. תהליך המסננות הזה הניב טבלאות של מיליוני פריימים בשנות ה- 1800. זה מאפשר למחשבים של היום למצוא מיליארדי פריימים בפחות משנייה. אבל רעיון הליבה של המסננת לא השתנה ביותר מ -2, 000 שנה.

"מספר ראשוני הוא זה שנמדד על ידי היחידה בלבד", כתב המתמטיקאי אוקליד בשנת 300 לפנה"ס. משמעות הדבר היא כי מספרים ראשוניים אינם יכולים להיות מחולקים באופן שווה על ידי מספר קטן יותר מלבד 1. לפי המוסכמה, המתמטיקאים אינם סופרים 1 עצמו כ מספר ראשוני. אוקליד הוכיח את אינסוף ראשוניותם - הם נמשכים לנצח - אך ההיסטוריה מרמזת על כך שאראטוסטנס היה זה שנתן לנו את המסננת לרשום במהירות את ראשונים.

הנה רעיון המסננת. ראשית, סנן מכפילים של 2, ואז 3, ואז 5, ואז 7 - ארבעת הראשונים. אם תעשה זאת עם כל המספרים מ -2 עד 100, יישארו רק מספרים ראשוניים.

זיוף מכפילים של 2, 3, 5 ו 7 משאיר רק את השערים בין 1 ל 100. (באדיבות MH ויסמן)

עם שמונה שלבי סינון, ניתן לבודד את ראשוני השיניים עד 400. בעזרת 168 שלבי סינון, ניתן לבודד את השואבים עד מיליון. זה הכוח של המסננת של Eratosthenes.

**********

דמות מוקדמת במאבקי טבלאה היא ג'ון פל, מתמטיקאי אנגלי שהקדיש את עצמו ליצירת טבלאות עם מספרים שימושיים. הוא היה מוטיבציה לפתור בעיות חשבון עתיקות של דיופנטוס, אך גם על ידי מסע אישי לארגן אמיתות מתמטיות. הודות למאמציו, המוקדמות עד 100, 000 הופצו באופן נרחב בראשית שנות ה- 1700. עד שנת 1800, פרויקטים עצמאיים הציגו את המפקדים עד מיליון.

כדי להפוך את צעדי המסננת המייגעים לאוטומציה, מתמטיקאי גרמני בשם קרל פרידריך הינדנבורג השתמש במחוונים מתכווננים בכדי להחתים כפולות על עמוד שלם של שולחן בבת אחת. גישה לייטקית אחרת אך יעילה השתמשה בשבלונות לאיתור הכפולות. באמצע שנות ה -18 של המאה הקודמת, המתמטיקאי ג'ייקוב קוליק התחיל בפרויקט שאפתני למצוא את כל הפרימטים של עד 100 מיליון.

שבלונה ששימשה את קוליק לצורך מסננת הכפולות של 37. AÖAW, Nachlass Kulik, (תמונה באדיבות דניס רויגל, סיפק המחבר)

ה"נתונים הגדולים "האלה של שנות ה -18 אולי היו משמשים רק כטבלת התייחסות, אם קרל פרידריך גאוס לא היה מחליט לנתח את השוליים למענם. כשהוא חמוש ברשימת פריימס עד 3 מיליון החל גאוס לספור אותם, "צ'יליאד" אחד, או קבוצה של 1, 000 יחידות, בכל פעם. הוא ספר את ראש המנזר עד 1, 000, ואז את הראשונים בין 1, 000 ל -2, 000, ואז בין 2, 000 ל -3, 000 וכן הלאה.

גאוס גילה שכשספר גבוה יותר, הראשונים נעשים בהדרגה פחות על פי חוק "היפוך". החוק של גאוס לא מראה בדיוק כמה ראשונים יש, אבל זה נותן הערכה די טובה. לדוגמה, החוק שלו מנבא 72 ראש הממשלה בין 1, 000, 000 ל- 1, 001, 000. הספירה הנכונה היא 75 פריימים, בערך שגיאה של 4 אחוזים.

מאה שנה לאחר בירוריו הראשונים של גאוס הוכח החוק שלו ב"משפט המספרים הראשוניים ". שגיאת האחוזים מתקרבת לאפס בטווחים גדולים יותר וגדולים יותר. השערת רימן, בעיית פרס מיליון דולר כיום, מתארת ​​גם עד כמה באמת מעריך את הערכתו של גאוס.

משפט המספרים הראשוניים והשערת רימן מקבלים את תשומת הלב ואת הכסף, אך שניהם עקבו אחר ניתוח נתונים מוקדם יותר וזוהר פחות.

.....

כיום, מערכי הנתונים שלנו מגיעים מתוכנות מחשב ולא סטנסילים חתוכים ביד, אך מתמטיקאים עדיין מוצאים דפוסים חדשים בפריסים ראשוניים.

פרט ל -2 ו -5, כל המספרים הראשוניים מסתיימים בספרות 1, 3, 7 או 9. בשנות ה- 1800 הוכח כי הספרות האחרונות האפשריות הללו הן תכופות באותה מידה. במילים אחרות, אם מסתכלים על ראש הממשלה עד מיליון, בערך 25 אחוזים מסתיימים ב -1, 25 אחוזים מסתיימים ב -3, 25 אחוזים מסתיימים ב -7 ו -25 אחוזים מסתיימים ב -9.

לפני מספר שנים תאורטיקני המספרים של סטנפורד, למקה אוליבר וקאנאן סאונאראראג'אן, נתפסו על המשמר על ידי מוזרויות בספרות הסופיות של ראש השנה. ניסוי התבונן בספרה האחרונה של ראש הממשלה, כמו גם בספרה האחרונה של הפריים הבא. לדוגמה, הפריים הבא אחרי 23 הוא 29: אחד רואה 3 ואז 9 בספרות האחרונות שלהם. האם רואים 3 ואז 9 לעתים קרובות יותר מ -3 ואז 7, בין הספרות האחרונות של ראשונים?

תדירות של זוגות ספרות אחרונה, בין מספרים ראשוניים עוקבים עד 100 מיליון. צבעים תואמים מתאימים לפערים תואמים. (MH ויסמן, CC BY)

תיאורטיקנים מספרים ציפו לשונות מסוימת, אך מה שהם מצאו חרג בהרבה מהציפיות. פרימוסים מופרדים על ידי פערים שונים; לדוגמה, 23 נמצא במרחק של שישה מספרים מ- 29. אך 3 פרימוסים של אז ואז 9, כמו 23 ו 29, נפוצים בהרבה מ 7 עד אז 3 פריימים, למרות ששניהם מגיעים מפער של שישה.

מתמטיקאים גילו עד מהרה הסבר מתקבל על הדעת. אולם, כשמדובר במחקר ראשונים ראשונים, מתמטיקאים מוגבלים (לרוב) לניתוח נתונים ושכנוע. הוכחות - סטנדרט הזהב של המתמטיקאים להסבר מדוע הדברים נכונים - נראות עשרות שנים.

מאמר זה פורסם במקור ב- The Conversation.

מרטין ה 'ויסמן, פרופסור חבר למתמטיקה, אוניברסיטת קליפורניה, סנטה קרוז