אם אתה הורה לילדים מתחת לגיל 10, הסיכוי הוא מאוד טוב שאתה מכיר משחק שנקרא "Spot It!"
Spot It !, בפח העגול הייחודי שלו, הוא פופולרי ביותר - הוא נמצא בעשירייה הראשונה ברשימת משחקי הקלפים הנמכרים ביותר של אמזון, ממש שם עם קלאסיקות כמו אונו וטאבו. יותר מ 12 מיליון עותקים של המשחק נמכרו מאז יציאתו לראשונה בשנת 2009, כאשר למעלה מ -500, 000 נמכרו מדי שנה בארצות הברית בלבד. הוא משמש לעיתים קרובות בכיתות, מופיע ברשימות של משחקים חינוכיים המקדמים התפתחות קוגניטיבית, ומרפאים בדיבור ועיסוק ברחבי ארה"ב תומכים בכך. זה סוג המשחק שגורם לך להרגיש שאתה עושה משהו טוב למוח שלך כשאתה משחק אותו.
המבנה הבסיסי של המשחק הוא זה: לסיפון יש 55 קלפים, עם שמונה סמלים בכל קלף, שנשלפים מגדה של 57 סמלים בסך הכל. אם בחרתם בשני קלפים באקראי, סמל אחד תמיד תואם. המשחק מספק מספר דרכים שונות לשחק, אך כולם תלויים במהירות שבה אתה מציב את הגפרור - שני גושי הגבינה, כתמי הדיו, הדולפינים, אנשי השלג וכן הלאה.
אבל איך - איך !? האם יתכן שכל כרטיס בודד תואם כרטיס אחר בדרך אחת בלבד?
זה לא קסם. זה מתמטיקה.
**********
סיפורו של ספוט It !, הראשון שעדיין פורסם כ- "גובל" באירופה, מתחיל בשנת 1850 בבריטניה. באותה תקופה בריטניה הייתה בעיצומה של סוג של רנסנס מתמטי. לאחר תקופה של קיפאון יחסית בתקופה הגאורגית, נראה כי שלטונה של המלכה ויקטוריה הניב פריחה של כוכבי רוק מתמטיים, אנשים כמו צ'ארלס באבאג ', ג'ורג' בולי, ג'ון וואן וארתור קיילי. זה היה עידן של פילוסופיה מתמטית מופשטת וחקירה, של קביעת העקרונות המתמטיים שעברו טכנולוגיה דיגיטלית מודרנית של ימינו - בלי החבר'ה האלה, המחשוב המודרני לא יכול היה להתקיים.
הכומר תומאס פנינגטון קירקמן לא היה כוכב רוק מתמטי, לא בדיוק. איש דת אנגליקני עם תואר ראשון ממכללת טריניטי בדבלין, קירקמן שירת בשקט כנסייה קטנה בלנקשייר, בצפון אנגליה, במשך 52 שנים. אבל הוא היה סקרן מבחינה אינטלקטואלית - ההספד של בנו כלפיו, לאחר מותו בשנת 1895, הצהיר כי האינטרסים העיקריים של קירקמן היו "לימוד המתמטיקה הטהורה, הביקורת הגבוהה יותר על הברית הישנה ושאלות על העקרונות הראשונים." על שני האחרונים האחרונים, נותרו כמה רשומות. עם זאת, עם הראשון, קירקמן הותיר אחריו קטלוג של כ -60 מאמרים עיקריים על כל דבר, החל מתיאוריה קבוצתית וכלה בפוליהדרליות - אם כי בעיקר מתפרסם בכתבי עת מעורפלים, עמוס במינוחים מתמטיים מורכבים ולעתים הומצאו, ומעט נראה - מורשת מופחתת, ולפחות בעיה אחת מאוד מעניינת.
בשנת 1850 הגיש קירקמן פאזל ליומן "גבירותי וג'נטלמן", מגזין מתמטיקה פנאי שנתי שלקח תוכן מחובבים ומתמטיקאים מקצועיים כאחד. השאלה נכתבה, "חמש עשרה נשים צעירות בבית ספר יוצאות שלוש רצופות במשך שבעה ימים ברציפות: היא נדרשת לסדר אותן מדי יום, כך שאף שתיים לא יצליחו להתעדכן פעמיים." בעיה של תלמידת בית הספר של קירקמן, כידוע, הייתה שאלת קומבינטוריקה, ענף לוגיקה העוסק בשילובי אובייקטים תחת קריטריונים מוגדרים. אתה בטח מכיר יותר את הקומבינטוריקה ממה שאתה עשוי לחשוב - זה עיקרון המתמטיקה שמודיע לרשתות סודוקו. (ואם לקחת את ה- LSATS, אתה בהחלט מכיר את זה - "נימוק אנליטי" קשור בכל הקומבינטוריקה.)
קירקמן פתר את הבעיה למעשה שלוש שנים קודם לכן, כאשר קבע כמה תלמידות בית הספר הוא יצטרך בכדי לגרום לפאזל לעבוד. הוכחה זו הייתה בתגובה לשאלה שהוצגה באותו מגזין בשנת 1844: "קבע את מספר הצירופים שיכולים להיות עשויים n סמלים, p סמלים בכל אחד; עם מגבלה זו, ששום שילוב של סמלי q העשוי להופיע באף אחד מהם לא יחזור בשום דבר אחר. "קירקמן חילץ זאת לשאלה של זוגות לא חוזרים בשלשות, ושואל ממספר מסוים של אלמנטים, כמה משולשים ייחודיים יכול להיות לפני שתתחיל לחזור על זוגות? בספרו ב -2006 על בעיית קירקמן, "חמש עשרה תלמידות בית הספר", דיק טטה נותן כמה דוגמאות לאופן בו הבעיה יכולה לעבוד: "יש לך שבעה חברים שאתה רוצה להזמין אותם לארוחת ערב בשלשות. כמה פעמים אתה יכול לעשות זאת לפני ששניים מהם נפגשים פעם שנייה? "במקרה כזה, n = 7, p = 3, ו q = 2.
ראוי לציון, הוכחתו של קירקמן הייתה המאמר המתמטי הראשון שלו, שהוצג בדצמבר 1846, כשהיה כבר בן 40. כמו כן, נראה שזה פיתרון לבעיה שהציג הגאומטר השוויצרי המפורסם ג'ייקוב שטיינר - "המערכת המשולשת" שלו, סדרה של קבוצות משנה ייחודיות של שלוש - כשש שנים לפני שטיינר הציע זאת. אבל הפיתרון הכללי - העיקרון שמאחורי זה עובד, והראות שהוא עובד כל הזמן - לא ניתן היה להבין עד שנת 1968, כאשר המתמטיקאים דייג'ן ריי-צ'אודורי ותלמידו דאז, ריצ'רד וילסון, באוניברסיטת אוהיו, שיתף פעולה במשפט שהוכיח זאת.
"קירקמן היה, ככל הידוע, מונע רק על ידי סקרנות. אך כפי שקורה לעתים קרובות במתמטיקה, הרעיונות שלו התבררו כיישומים רחבים מאוד. בסטטיסטיקה סר רונלד פישר השתמש בהם כדי לייצר עיצובים ניסיוניים שמשווים כל זוג טיפולים שהוצע בצורה אופטימלית. הם מתעוררים גם בתיאוריה של קודי תיקון שגיאות, המשמשים בתקשורת בין מחשבים, לוויינים וכן הלאה, "כותב פיטר קמרון, מתמטיקאי מאוניברסיטת סנט אנדרוז, במייל. "אפליקציה נוספת מתגלה כמשחקי קלפים."
להבחין בו!
משחק המפלגה להיט. להבחין בו! הוא משחק ההתאמה הממכר, המהנה בקדחתנות, לכל דור ודור. הדבר הראשון שצריך לדעת על ספוט זה! הוא שתמיד יש סמל אחד, ורק אחד, תואם בין שני קלפים. הבנתי? עכשיו כל מה שאתה צריך זה עין חדה ויד מהירה לשחק את כל חמשת משחקי המסיבות הארוזים בפח. כולל עד שמונה שחקנים, ספוט! הוא אינץ 'ללמוד, משחק מהר וכיף שאין לעמוד בפניו לכל הגילאים. ברגע שאתה "מציין", הכיף לא ייפסק. פשוט ללמוד, אתגר לנצח.
קנהאבל עדיין לא. הפיתרון הכללי של ריי-צ'אודורי ווילסון עורר גל של עניין בבעיית בית הספר של קירקמן, לא מעט בגלל היישומים שלה בתחום המתפתח של קידוד וחישוב. בין אלה שתפס היה חובב מתמטיקה צרפתי צעיר בשם ז'אק קוטרו. זה היה בשנת 1976, וקוטרו קיבל השראה מתיאוריות חדשות יחסית של קודי תיקון שגיאות ומהעקרונות של מה שמכונה "בלוקים מאוזנים לא שלמים", שבהם סדרה סופית של אלמנטים מסודרים לתתי קבוצות המספקים פרמטרים מסוימים של "איזון", מושג המשמש לעיתים קרובות בעיצוב ניסויים.
קוטרו רצה להמציא מודל שיעשה את הפאזל לעבוד בשילוב כלשהו, והוא רצה שיהיה כיף . עד מהרה הוא הבין שהעקרונות בפתרון אינם חייבים להיות מספרים או תלמידות. לדמיונו המחודש של בעיית בית הספר, קוטרו עיצב "משחק חרקים": סט של 31 קלפים עם שש תמונות של חרקים, בדיוק תמונה אחת משותפת בין כל אחד מהם. "משחק החרקים", גרסה מוגבלת של מה זה ספוט! עם זאת, לעולם לא יעבור לחדר המגורים של קוטרו ובילה את שלושים השנה הבאות באיסוף אבק.
קוטרו לא היה מתמטיקאי מקצועי ולא יצר משחקים; הוא היה סתם תחביב שהיה לו "תשוקה לתחום הספציפי הזה", לדברי הממציא המשותף של דובל, דניס בלנשו. בלנשוט הוא גם לא מתמטיקאי - הוא עיתונאי במקצועו - אבל הוא נהנה ליצור ולעצב משחקים. ב -2008 נתקל בלאנשות על כמה מהקלפים ממשחק חרקים שנקבע - קוטרו הוא אביה של גיסתו של בלנשו - וראה בהם זרעים של משחק מבדר.
"היה לו הרעיון לתרגם את זה לכרטיסים. הפכתי את זה למשחק אמיתי, מהיר וכיף, "אומר בלנשו דרך המסנג'ר בפייסבוק. הם חזו שהמשחק, אותו כינו דובל, יהיה לכולם, ולא רק לילדים.
Deen
בלנשוט עבד על האיורים לאב-הטיפוס, שילוב של בעלי חיים, שלטים וחפצים, שחלקם עדיין מהווים חלק מהמשחק כעת, ואחרי בדיקות משחק רבות, הם גילו כמה גישות למשחקים. המשחק "דאבל", שנקרא כך כמחזה על המילה "כפול", שהושק בצרפת בשנת 2009 תחת המו"לים Play Factory, אז בגרמניה בשנת 2010. באותה שנה מכרו בלנשוט וקוטרו את המשחק ל- Play Factory. תוסף, שנכלל באריזת המשחק מאז 2016, מפרט את בלנשו וקוטרו כיוצרים, "בעזרת צוות ה- Factory Factory", אם כי השניים כבר לא מעורבים במשחק בכלל.
דובל שוחרר בבריטניה ובצפון אמריקה, בתור Spot It !, בשנת 2011, להצלחה מיידית למדי. אסמודי רכש את הזכויות העולמיות למשחק מאת פליי פקטורי והמפיץ האמריקני, כחול כתום, בשנת 2015. כעת, המשחק פורסם עם יותר ממאה נושאים שונים, כולל הליגה הלאומית להוקי, "היפ" (שפמים ואופניים), ו- Finding Dory של פיקסאר. הם יצרו גרסאות הכוללות אוצר מילים ספרדי וצרפתי, עם האלף-בית והמספרים, וכרטיסים הכוללים נסיכות דיסני ומלחמת הכוכבים . מפרסמי המשחק הראשונים יצרו אפילו פעם אחת גרסאות למשטרת צרפת באמצעות סמלי כביש - ובקבוק יין, אומר ג'ון ברוטון, קונה אסמודי אירופה: "הם אמרו שזו הייתה תזכורת לא לשתות ולנהוג."
בן חוג, מנהל השיווק של אסמודי אירופה, ייחס את הצלחת המשחק - זהו משחק הקלפים הפופולרי ביותר בבריטניה השנה - לנוחות המשחק. "אנשים יכולים ללמוד לשחק כמעט מייד. הם יכולים לשחק את זה בצורה יוצאת מן הכלל, אבל הם לא יכולים לשלוט בזה, "אמר. "זה אחד המשחקים האלה שאתה יכול להציג לאנשים ומיד הם משיגים את זה, הם רואים מה כיף בזה."
**********
אבל רוב האנשים שמשחקים לא מבינים בדיוק למה זה עובד. להבחין בו! יכול להיות קל לשחק, אבל המתמטיקה שמאחוריה מורכבת באופן מפתיע.
באופן הפשוט ביותר, המשחק מבוסס על העיקרון של אוקליד ששני קווים במישור אינסופי, דו ממדי יחלקו רק נקודה אחת במשותף. במאות ה -18 וה -19, הגיאומטריה האוקלידית הודיעה על בסיס האלגברה המודרנית באמצעות רנה דקארט שהקצה את קואורדינטות הנקודות הללו, כך שהנקודות כבר לא היו מיקום פיזי; הם יכולים להפוך למספרים ומאוחר יותר, מערכות של מספרים. למטרות בעיית בית הספר של קירקמן, מסביר קמרון, "חשוב על בנות כנקודות" ועל קבוצות של שלוש בנות כ"קווים ". האקסיומה של אוקליד מרוצה. ... החלק הקשה יותר של הבעיה הוא לחלק את 35 הקבוצות ל 7 אשכולות של 5 כך שכל בחורה מופיעה פעם אחת בכל אשכול. במונחים של אוקליד, זה כמו להוסיף את הקשר של ההקבלה למערך. "
הבעיה של קירקמן, ולכן הפיתרון של ספוט It!, חיה בתחום הגיאומטריה הסופית. "הבסיסית ביותר בגיאומטריות אלה כוללת נקודות q2, עם נקודות q בכל שורה, כאשר q הוא מספר האלמנטים במערכת המספרים או השדה שנבחרו. גרסה קטנה נותנת q 2 + q + 1 נקודות, עם q + 1 נקודות בכל שורה, "כותב קמרון.
מטוס הפאנו, הקרוי על שמו של המתמטיקאי האיטלקי ג'ינו פאנו, הוא מבנה בגיאומטריה סופית בה מחוברות שבע נקודות בשבע שורות (כולל המעגל באמצע). לכל נקודה יש שלוש קווים בדיוק שנפגשים, וכל קו חוצה שלוש נקודות בדיוק. אם הנקודות ייצגו תמונות, והקווים היו קלפים ב- Spot It!, וכל אחד מהם מכיל רק את התמונות שהקו נוגע בהן, היו שבעה קלפים עם שלוש תמונות כל אחת, וכל שני קלפים יחלקו רק תמונה אחת. ניתן להגדיל את אותו מושג לסיפון מלא. (נחלת הכלל) אז מה זה אומר עבור Spot It? "ניקח את אחת הגיאומטריות האלה וננסה להפוך אותה למשחק קלפים. כל קלף ייחשב כנקודה ויספק מספר סמלים המייצגים את הקווים המכילים אותה נקודה. בהתחשב בשני קלפים כלשהם, יהיה רק סמל אחד המשותף להם, התואם לקו הייחודי דרך שתי הנקודות, "אמר קמרון.
כאשר q הוא שבע בפורמולה, אנו יכולים לקבוע כי יש 57 נקודות (7 2 + 7 + 1), עם שמונה נקודות (7 + 1) בכל שורה. "אז אנחנו יכולים להכין חבילה של 57 קלפים, עם שמונה סמלים בכל קלף, וכל שני קלפים שיש להם בדיוק סמל אחד משותף. שם, בעצם, המשחק הוא! "קמרון אומר.
עם זאת, ראוי לציון Spot It! אינו מכיל 57 כרטיסים, הוא מכיל רק 55. תיאוריה אחת לגבי שני הקלפים החסרים היא שהיצרנים השתמשו במכונות להכנת כרטיסים סטנדרטיות, וסיפוני כרטיסים סטנדרטיים מכילים 55 קלפים - 52 קלפי משחק, שני ג'וקרים ומודעות. "אין בעיה", כתב קמרון. "עשה 57 קלפים והפסיד שניים מהם; ל -55 שכתוצאה מכך עדיין יהיה הנכס שכל אחד מהם חולק סמל אחד בלבד. אכן, לא משנה כמה כרטיסים תאבדו, הנכס הזה עדיין יחזיק. "
**********
כמובן שאתה לא צריך להבין איך זה עובד כדי ליהנות ממשחק המשחק. אבל ניסיון להבין את זה יכול להיות שער להבנה או חשיבה של מתמטיקה בדרכים חדשות. לפני שג'ון ברוטון הפך לקונה עבור אסמודי, הוא היה מורה למתמטיקה בבית ספר תיכון בהמפשייר, אנגליה. הוא השתמש בדובל בכיתות הלימוד שלו, בהתחלה גרם לילדים לשחק את המשחק - ואז גרם להם לעצב גרסאות משלהם.
"זה היה שבעצם כולם יכולים להצליח ברמה ראשונית ... הרעיון היה נקודת מוצא להסתכל על קומבינטוריקה ומטריצות, זה היה וו, " הוא אומר. "רוב הילדים יכלו לעצב סט אחד או שניים. האתגר היה לשבת ולשאול, איך אוכל לגרום לזה לעבוד?"
קשה להבין כיצד לגרום לזה לעבוד, במיוחד מעבר לסטים של שניים או שלושה. אז בטוח, תוכלו לקנות את המשחק בעונת החגים הזו - והיו לכם הרבה אפשרויות נושאיות מהנות למדי - אבל מה אם הייתם מכינים בעצמכם?
